山西大同大学是公办高校。公办高校是指以国家政府或政府委托的机构，如国家部委、地方政府等，投资建设并管理的一类高等学校。因此，山西大同大学是由中国政府投资建设并管理的一所公办高校。

除此之外，大同市还有另外两所高校，分别是大同大学朔州学院和山西大同大学平旺校区。其中，大同大学朔州学院是一所民办高校，由大同大学和朔州市政府合作共建，于2012年正式招生；山西大同大学平旺校区则是一所公办高校，由山西大同大学和山西省大同市平旺乡政府合作共建，于2013年正式招生。

综上所述，大同市共有三所高校，其中两所为公办高校，一所为民办高校。